\chapter{贝特(1938)推导碳氮氧循环与质子-质子链反应}
	
	\begin{abstract}
		本文详细分析了汉斯·贝特(Hans Bethe)在1938年提出的太阳能量产生机制理论。贝特提出了两种主要的核聚变过程：碳氮氧(CNO)循环和质子-质子(pp)链反应。通过推导关键核反应方程和能量平衡关系，展示了恒星如何通过轻核聚变释放巨大能量。本文重现了贝特原始论文中的关键推导步骤，并讨论了这些理论在现代天体物理学中的意义。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1938年，汉斯·贝特在《物理评论》上发表了两篇开创性论文\cite{bethe1938energy,bethe1939energy}，首次完整解释了恒星通过核聚变产生能量的物理机制。他提出的碳循环(CNO循环)和质子-质子反应(pp链)理论解决了长期困扰天体物理学家的恒星能源问题。
	
	\section{碳氮氧(CNO)循环}
	贝特提出的碳循环(现称CNO循环)包含以下反应序列：
	
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			^{12}\text{C} + p &\rightarrow ^{13}\text{N} + \gamma \\
			^{13}\text{N} &\rightarrow ^{13}\text{C} + e^+ + \nu_e \\
			^{13}\text{C} + p &\rightarrow ^{14}\text{N} + \gamma \\
			^{14}\text{N} + p &\rightarrow ^{15}\text{O} + \gamma \\
			^{15}\text{O} &\rightarrow ^{15}\text{N} + e^+ + \nu_e \\
			^{15}\text{N} + p &\rightarrow ^{12}\text{C} + ^{4}\text{He}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	\subsection{反应截面分析}
	贝特通过量子隧穿效应计算了质子与核的反应截面。对于第$i$个反应，反应率可表示为：
	
	\begin{equation}
		r_{ij} = n_i n_j \langle \sigma v \rangle_{ij}
	\end{equation}
	
	其中$\langle \sigma v \rangle_{ij}$是速度平均截面，可由下式估算：
	
	\begin{equation}
		\langle \sigma v \rangle \approx \frac{S(E_G)}{(kT)^{3/2}} e^{-3E_G/kT}
	\end{equation}
	
	这里$E_G = (\pi \alpha Z_i Z_j)^2 2m_r c^2$是Gamow能量，$S(E_G)$是天体物理S因子。
	
	\section{质子-质子(pp)链反应}
	对于太阳这样的低质量恒星，pp链反应是主要能源。贝特提出的原始pp链包含以下步骤：
	
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			p + p &\rightarrow ^2\text{H} + e^+ + \nu_e \\
			p + ^2\text{H} &\rightarrow ^3\text{He} + \gamma \\
			^3\text{He} + ^3\text{He} &\rightarrow ^4\text{He} + 2p
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	\subsection{能量释放计算}
	完整pp链释放的总能量约为26.73 MeV，其中部分能量被中微子带走。贝特通过质量亏损计算能量释放：
	
	\begin{equation}
		Q = \Delta m c^2 = \left( 4m_p - m_{He} - 2m_e \right) c^2
	\end{equation}
	
	\section{反应速率理论}
	贝特推导了恒星内部核反应速率的一般表达式：
	
	\begin{equation}
		\epsilon = \frac{dE}{dt} = \sum_{i,j} \frac{r_{ij} Q_{ij}}{\rho}
	\end{equation}
	
	对于pp链，能量产生率可近似为：
	
	\begin{equation}
		\epsilon_{pp} \approx 2.5 \times 10^6 \rho X^2 \left( \frac{T}{10^6 \text{K}} \right)^{-2/3} e^{-33.8/(T_9)^{1/3}} \text{ erg g}^{-1}\text{s}^{-1}
	\end{equation}
	
	其中$T_9 = T/10^9$ K，$X$是氢质量分数。
	
	\section{结论}
	贝特的理论完美解释了太阳的长期稳定能量输出。现代测量表明，pp链贡献了太阳约99\%的能量，而CNO循环仅占约1\%。这些理论奠定了现代恒星核合成研究的基础。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{bethe1938energy}
		Bethe, H. A. (1938). "Energy Production in Stars". \textit{Physical Review} 55 (1): 103.
		
		\bibitem{bethe1939energy}
		Bethe, H. A. (1939). "Energy Production in Stars". \textit{Physical Review} 55 (5): 434.
	\end{thebibliography}
	